berk_gun Klasik barındırma için DigitalOcean'da içinde LAMP/LEMP kurulu bir droplet oluşturup alan adınızı DNS yöntemininden eklersiniz. Bununla ilgili DigitalOcean'da ve internette birçok makale mevcut.
Otomatik deployment için Github Webhooks kullanabilirsiniz, bunu da araştırın.
Bir de deployment süreçlerini yönetmek için şunu inceleyin:
https://github.com/lorisleiva/laravel-deployer
Sadece yol gösteriyorum çünkü anlatmakla bitmez.