Verdiğim sayfada zaten dökümantasyonu mevcut, direk aşağıda kurulumu, nasıl kullanılacağı yazıyor ama kısaca bahsetmek gerekirse:

Category modelimiz olsun, bunun migrasonunu yazalım:

use Kalnoy\Nestedset\NestedSet;

Schema::create('categories', function (Blueprint $table) {
 $table->string('name');
 NestedSet::columns($table); // bu kısmı ekliyoruz
});

Category modeline de NodeTrait traitini ekliyoruz

use Illuminate\Database\Eloquent\Model;
use Kalnoy\Nestedset\NodeTrait;

class Category extends Model {
 use NodeTrait;
}

Şimdi işlemlere geçelim:

// Ana kategori oluşturalım
$bilgisayar = Category::create(['name' => 'Bilgisayar']);
$elektronik = Category::create(['name' => 'Elektronik']);
$beyazesya = Category::create(['name' => 'Beyaz Eşya']);

// Alt kategori ekleyelim
$masaustuBilgisayar = Category::create(['name' => 'Masaüstü Bilgisayarlar']);
$bilgisayar->appendNode($masaustuBilgisayar); // Bilgisayar kategorisinin alt kategorisi yapıyoruz

// Masaüstü Bilgisayar altına eklemek için kategori oluşturalım.
$desktop = Category::create(['name'=> 'Desktop']);
$allInOne = Category::create(['name'=> 'All In One']);
$oyuncuBilgisayari = Category::create(['name'=> 'Oyuncu Bilgisayarı']);

// Oluşturduğumuz kategorileri Masaüstü Bilgisayarın alt kategorisi olarak ekleyelim.
$masaustuBilgisayar->appendNode($desktop);
$masaustuBilgisayar->appendNode($allInOne);
$masaustuBilgisayar->appendNode($oyuncuBilgisayari);

// Şimdi bilgisayar kategorisi ve tüm alt kategorilerini istiyorsak
$bilgisayarKategorisi = Category::descendantsAndSelf($bilgisayar->id);
foreach($bilgisayarKategorisi as $bilgisayarlar) {
 echo $bilgisayarlar->name;
}

gibi. Dökümantasyona bakın, orada bir sürü yöntem var. Bazı şeyleri yapmanın bir çok yolu var, kullandıkça öğrenirsiniz.