jquery, angular, vuejs yada düz javascript ile (hangisini biliyorsanız artık hepsi işinizi görür), laravel'de oluşturdurduğunuz rotalara ajax request göndereceksiniz, Laravel'de verileri işleyip, sonucu döndüreceksiniz, dönen sonuca göre frontend tarafında işlemlerinizi gerçekleştireceksiniz. Genel mantık budur.
Ben genellikle jquery kullanıyorum. Jquery ajax dökümanını aşağıdaki linkten inceleyebilirsiniz. Örnekler bulunmaktadır.
http://api.jquery.com/jquery.ajax/