Lumen'in public klasörü hariç, dosyaları normalde nasıl olması gerekiyorsa koyun. Public klasörünün içinde bulunan index.php dosyasında aşağıdaki satırı değiştirin. Sonrasında, Lumen projenizin içerisindeki public klasörünü de kurmak istediğiniz dizinin içerisine atın.
Eski Hali;

$app = require __DIR__.'/../bootstrap/app.php';

Yeni Hali;

//Siz araya ekstra bir alt klasör daha eklediğiniz için "../" ekliyoruz. İki ekleseydiniz(yeni/web/ gibi) "../../" şeklinde ekleyecektik.
$app = require __DIR__.'/../../bootstrap/app.php';

Klasör yapısına Örnek vermek gerekirse public hariç dosyalarınız aşağıdaki dizinde olacak, bu dizine dışarıdan erişilemez;

/home/web/www.example.com/

Public klasörünün içerisindekilerde aşağıdaki dizinde olacak.;

/home/web/www.example.com/public_html/yeni/

Not: Kodları test etmedim ama %99 çalışması lazım, mantık budur.